Mathématiques et Histoire, une association porteuse de sens ?

Pourquoi ne parle-t-on pas (ou peu) d’Histoire des maths dans l’enseignement des mathématiques ? Dans les années ’60, et pour plusieurs décades, la réforme des Mathématiques modernes a entraîné, en Belgique, une tendance à la théorisation et à l’abstraction dans l’enseignement des mathématiques. Aujourd’hui, beaucoup de professeurs suivent encore cette tendance, d’autant plus que l’injonction de « boucler le programme » exerce sur eux une pression qui les pousse à aller directement à la théorie, sans prendre le temps de motiver les sujets qu’ils étudient – et leurs élèves – par l’exposé des circonstances historiques qui ont amené les mathématiciens anciens à développer ces sujets.

Cet article a été initialement publié dans L’École démocratique, n°87, septembre 2021 (pp. 18-21).

D’autre part, beaucoup de professeurs s’appuient sur des manuels, rédigés par des équipes attachées à de grands éditeurs, et fortement conseillés parfois par les écoles dans lesquelles ces professeurs travaillent. Or, aucun de ces manuels ne présente, en fait d’histoire, autre chose que des anecdotes, et encore celles-ci ne concernent-elles que les mathématiciens célèbres, pas les problématiques qui les ont amenés à leurs découvertes.

Un petit exemple ? On raconte que Carl-Friedrich Gauss (1777-1855) aurait été puni par son instituteur – sans donner la raison de cette punition, avait-il bavardé parce qu’il s’embêtait en classe ? – qui lui avait donné la tâche de calculer la somme des nombres naturels de 1 à 100. Lourde tâche, additionner cent nombres, pour un enfant qui est censé avoir récemment appris la notion d’addition. Mais Gauss était déjà génial, n’est-ce pas ? Et, donc, il remarqua que la somme de 1 et 100 est la même que celle de 2 et 99, de 3 et 98, etc. Par conséquent, il compta le nombre de fois que cette somme partielle de 101 apparaît dans la somme demandée par le professeur : cinquante fois, puisque Gauss a groupé les cent nombres à additionner par paires dans 101. Et le petit Gauss multiplie alors 101 par 50 pour obtenir 5050 comme somme des nombres entiers de 1 à 100. Le professeur est ébahi par la rapidité du procédé. Evidemment, cette anecdote est hautement improbable car elle met en scène un enfant qui maîtrise la multiplication alors qu’il n’est censé avoir appris encore que l’addition. Bien sûr, Gauss était génial et il a donc pu imaginer – ainsi que l’association des paires de nombres opposés pour former 101 – cette nouvelle opération par lui-même.

Mais quel est donc l’intérêt de raconter cette anecdote, sinon pour montrer que les mathématiciens sont des êtres d’exception ? De plus, on voit mal, dans cette histoire, la question qui a motivé Gauss à faire cette « découverte », mise à part l’injonction de son professeur. On reste en milieu scolaire, sans chercher à savoir ce qui, dans la vie pratique, pourrait motiver les mathématiciens. Mon sentiment est que cette anecdote est une invention – de professeur ? – permettant de retenir la procédure à suivre pour calculer la somme des n premiers nombres naturels : multiplier la somme des deux nombres extrêmes par la moitié du dernier, soit calculer (n+1).(n/2) et cela fonctionne pour n pair ou impair. On voit aussi apparaître dans cette anecdote une autre caractéristique des mathématiques et de ceux qui les pratiquent : la tendance à réfléchir en vase clos. On dispose de règles précises – comme pour un jeu de cartes ou tout autre jeu – et on a le droit de créer des développements à partir de ces règles. Cette tendance n’est pas vraiment critiquable, elle fait même partie de l’exposé classique des connaissances mathématiques depuis les mathématiciens grecs, en particulier Euclide, le grand géomètre alexandrin du 3^e siècle av. J.C. Cependant, donner ces règles – ou, mieux, amener les élèves à les découvrir – et leur demander de développer – ou, pire, de suivre les développements du professeur – n’est pas la meilleure manière de les convaincre de l’intérêt qu’ils ont à les maîtriser. En effet, tous les élèves ne sont pas Gauss, ils n’ont pas tendance à anticiper ces règles. La plupart ont même tendance à penser que ces règles ont été inventées par un dieu cruel pour les torturer.

Qu’apporte l’histoire des mathématiques à l’enseignement ?

Les élèves ont le droit de savoir – et nous avons le devoir de leur expliquer – que les mathématiques n’ont pas été inventées par un dieu cruel, mais par des hommes et des femmes, comme eux. C’est là l’intérêt de l’histoire des mathématiques dans l’enseignement, montrer que les propriétés, les méthodes et les théories qu’on enseigne ont été élaborées au fil du temps par des gens qui cherchaient à résoudre des problèmes, souvent issus de questions concrètes. De plus – les élèves l’ignorent généralement – les mathématiques sont encore et toujours en gestation et de nouveaux problèmes naissent et d’autres sont résolus tous les jours.

Il faut donc, pour intéresser nos élèves – qui ne sont pas tous des petits Gauss – quitter, au moins momentanément, l’aspect « vase clos » des mathématiques pour les replacer dans leur contexte. On peut le faire en cours de mathématiques ou avec l’aide de collègues, d’histoire, de géographie, de sciences, de français même, dans un cadre pluridisciplinaire. On peut, par exemple, utiliser des textes anciens qui présentent souvent les méthodes mathématiques de manière moins sèche que les textes actuels. On peut aussi mettre la main à l’ouvrage et construire des objets mathématiques, par exemple des instruments, soit en amont pour mettre les élèves en situation concrète, soit même faire construire ces instruments par les élèves eux-mêmes^[1].

Un exemple : la mesure de la pyramide par Thalès, selon Plutarque, pour comprendre son théorème et la construction d’un instrument, le Quarré géométrique.

Selon Plutarque, un auteur grec du 2^e siècle auquel nous devons plusieurs informations sur l’histoire des mathématiques, Thalès (6^e siècle av. J.C.) aurait visité l’Egypte, admiré les pyramides et élaboré une méthode permettant d’en mesurer la hauteur de manière indirecte. Cette méthode est basée, bien entendu, sur ce que nous appelons en Belgique et en France le Théorème de Thalès, que d’autres nomment plutôt théorème de la proportionnalité. Cette propriété s’énonce (Eléments d’Euclide VI.2) : Si l’on mène une droite parallèle à un des côtés d’un triangle, cette droite coupera proportionnellement les côtés de ce triangle ; et si les côtés d’un triangle sont coupés proportionnellement, la droite qui joindra les sections sera parallèle au côté restant du triangle.

Ce sera plus clair à l’aide d’une figure :

Si, dans le triangle OBD, AC est parallèle à BD, alors C’est la proportionnalité. On a encore, par symétrie: Euclide donne aussi la réciproque : si l’on place dans le triangle OBD deux points A et C tels que alors AC est parallèle à BD.

Voyons maintenant le texte de Plutarque, qui représente un personnage s’adressant à Thalès : (…) mon maître (…) a surtout aimé merveilleusement ta façon de mesurer la pyramide, quand, avec la plus grande élégance, et sans utiliser aucun instrument, mais en plaçant seulement ton bâton à la limite de l’ombre portée par la pyramide, le rayon de soleil tangent engendrant deux triangles, tu as montré que le rapport de la première ombre à la deuxième ombre était aussi le rapport de la pyramide au bâton.

Ici, il faut bien entendu aider les élèves à se représenter la situation concrète dans laquelle se trouvait Thalès. Pour ce faire, nous avons construit une pyramide de taille réduite (et transportable) pour inciter les élèves à tester ce que Thalès a bien pu faire. Sur la photo ci-contre, on les voit travailler par groupe (un par face de la pyramide). Le rayon de soleil tangent est concrétisé par une cordelette tendue depuis le sommet de la pyramide et l’élève à droite place son stylo – c’est le bâton de Thalès – verticalement de sorte qu’il reste à la limite de l’ombre portée par la pyramide. Chaque groupe a un représentant – comme l’élève à droite – qui place le bâton et prend des mesures. Le groupe est alors sollicité pour schématiser la situation de sorte qu’elle ressemble à la configuration du théorème de Thalès.

On obtient alors – après moult discussions – le schéma suivant.

BD est la hauteur (inconnue) de la pyramide, DE une face de la pyramide en coupe, AC l’image du bâton. Du côté des ombres, BO est la trace au sol de l’ombre de la pyramide (considérée comme un grand bâton), AO celle du bâton. Au niveau des mesures à prendre, les élèves ont parfois du mal à prolonger l’ombre de la pyramide de O jusqu’en B – ils s’arrêtent plutôt au pied de la pyramide, en E – mais la nécessité du parallélisme des segments BD et AC dans le théorème de Thalès les aide à conclure (et à voir la pyramide comme un grand bâton). Il leur reste à ajouter à EO la moitié BE de la longueur de la base de la pyramide, qui est facile à mesurer. Finalement, on obtient pour la hauteur |BD| de la pyramide :

Les élèves comparent alors les résultats des différents groupes.

Cette première activité a pour but de les familiariser avec l’utilisation du théorème de Thalès pour résoudre un problème pratique et historique. Ce problème est peut-être même à l’origine de la découverte de Thalès, mais on n’a aucune certitude. Bien sûr, nous avons dû réduire l’échelle du vrai problème, à la fois pour travailler en classe et, surtout, parce qu’il nous est impossible de nous déplacer en Egypte jusqu’au plateau de Gizeh, siège des pyramides. Mais on peut aller plus loin et utiliser un instrument simple, inspiré peut-être par l’expérience de Thalès, pour réaliser une vraie mesure d’un bâtiment qui ne peut être mesuré directement, par exemple la hauteur de l’école. L’instrument en question se nomme le Quarré géométrique, que l’on trouve décrit et utilisé dans de nombreux livres des 16^e et 17^e siècles. Il s’agit d’un simple carré en bois muni d’une alidade, dont les deux côtés opposés au centre de rotation de l’alidade sont gradués.

La figure ci-contre (tirée du Commentaire de l’astrolabe, de Jean de Roias, Paris, 1551, p.215) montre comment calculer une hauteur inaccessible de 1200 (cm par exemple) à l’aide d’un Quarré de 200 de côté^[2] et du théorème de Thalès. L’image ci-dessous montre des étudiants de la HE2B en train de mesurer la hauteur d’un bâtiment avec un Quarré géométrique de 64 cm de côté.

Un peu d’étymologie historique ne peut nuire

L’histoire des mathématiques appartient à l’histoire des idées, comme l’histoire des sciences en général, mais aussi l’histoire de la philosophie, de la médecine, des méthodes de navigation, et autres. A mon point de vue, ces différentes histoires sont plus intéressantes que l’Histoire – avec un grand H – celle des pays, des régnants, des batailles, etc., parce qu’elles sont moins répétitives, elles ont un fil conducteur. Bien entendu, les mathématiques ont été développées parfois différemment, à différentes époques et dans différentes régions, mais souvent les problématiques étaient comparables, même si les méthodes de résolution variaient. Ainsi, les équations du second degré (motivées à l’origine par des problèmes d’égalité d’aires) ont été résolues d’abord géométriquement, par les Mésopotamiens et les Grecs, puis algébriquement par les Indiens et les Arabes – avec une justification géométrique, dans ce dernier cas – mais, aujourd’hui elles font partie de l’algèbre, une partie des mathématiques dont le nom dérive du titre de l’œuvre d’Al-Khwārizmī: Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa’l muqābala ‘Livre abrégé sur le calcul par l’al-jabr et l’al-muqābala’. Le mot al-jabr dérive de la racine ﺟَﺒَﺮَ ‘panser, réduire une fracture’ et a le sens mathématique de suppression des termes négatifs : par exemple, 2x² + 3x + 1 – 2x = x² + 2 → 2x² + x + 1 = x² + 2, tandis qu’al-muqābala, qui dérive de la racine ﻗﺒَﻞَ, a le sens de groupement des termes semblables : 2x² + x + 1 = x² + 2 → x² + x = 1. Il faut encore préciser que ce que nous exprimons par des équations était dit tout autrement par les savants arabes. Ainsi, la dernière équation x² + x = 1 s’énonce dans les textes arabes ‘un trésor et une chose égalent un dirham’.

Voilà encore un aspect qu’il est intéressant d’apprendre aux élèves : d’où proviennent les termes utilisés en mathématiques ? Que signifient-ils ? Un peu d’étymologie historique ne peut nuire. Le nom d’Al-Khwārizmī signifie que ce grand mathématicien du 9^e siècle, qui s’exprimait en arabe dans ses ouvrages, était originaire du Khwārezm, une région située en Ouzbekistan actuel, au sud-est de la Mer d’Aral. Le mot Al-Khwārizmī lui-même a donné le terme algorithme, du fait qu’Al-Khwārizmī a aussi diffusé les méthodes de calcul dans la base décimale positionnelle par son livre intitulé « Livre de l’addition et de la soustraction d’après le calcul des Indiens ». Bien entendu, ce livre portait aussi sur la multiplication et la division. Par la suite, ses méthodes de calcul ont été diffusées en Europe sous le nom d’algorismes. Une confusion avec le mot d’origine grecque arithmétique (arithmos) a fini par transformer le s en th, pour donner algorithme.

Quelles sont les perspectives ?

En conclusion, nous voyons que les mathématiques, comme l’histoire, la littérature, la grammaire même, reposent sur un substrat beaucoup plus riche que ce que nous renvoie le souvenir que nous en avons depuis nos études. Malheureusement, elles ont mauvaise presse – qu’on songe au nombre de journalistes qui les malmènent ou admettent carrément n’y rien comprendre – et sont trop souvent vues comme une discipline essentiellement technique. D’autre part, les professeurs sont rarement formés à l’histoire des mathématiques et, même s’ils le sont, ils restent timides, n’osant se lancer dans des explications – souvent en réponse à la question « à quoi cela sert-il ? » – qui les éloigneraient de « leur sacro-saint programme » et de leur zone de confort.

Il est pourtant temps que cela change en Belgique, vu le retard que nous avons pris dans ce domaine par rapport aux pays voisins^[3], et que l’on encourage les professeurs à penser leur enseignement de manière pluridisciplinaire, pour donner aux mathématiques le contexte et, surtout, le sens qu’elles méritent. Depuis quelques années, les choses évoluaient dans la bonne direction. Ainsi, le document Compétences terminales et savoir requis en mathématiques dit de l’histoire des mathématiques qu’« elle peut contribuer à faire connaître les apports de toutes les cultures au développement des mathématiques : le triangle de Pascal d’origine chinoise, la relation de Pythagore figurant dans des textes indiens anciens, les fractions connues des Egyptiens, les frises islamiques, etc. (…) Pour enseigner des mathématiques qui ont un sens et lutter ainsi contre une vision dogmatique des mathématiques, il y a lieu d’insister sur le rôle des problèmes dans l’émergence des concepts. Ces problèmes, dont les énoncés paraissent parfois éloignés du champ mathématique, tiennent un rôle important dans la culture humaniste et la formation scientifique. »^[4]

On voit que les concepteurs de ce texte insistent sur l’importance de la culture humaniste, dans l’enseignement des mathématiques et de manière générale. Ils donnent aussi une place aux problèmes, pour « lutter contre une vue dogmatique des mathématiques » – ce que je nommais plus haut les mathématiques en vase clos – et il s’agit bien de problèmes envisagés de manière historique, puisqu’il est question de retrouver l’émergence des concepts et, je suppose, de la susciter chez les élèves.

Malheureusement, ce souci de donner une place à l’histoire des mathématiques et de s’en inspirer n’apparaît plus dans le nouveau référentiel de mathématiques^[5]. En effet, on n’y trouve pas une seule occurrence ‘histoire’ ou ‘historique’, alors que le référentiel des sciences présente 21 entrées en ‘histoire des sciences’.

Jean Michel Delire
Chargé du cours d’histoire des mathématiques
à l’Institut des Hautes Etudes de Belgique (ULB)

1. C’est ce qui a été entrepris dans le cadre d’un projet soutenu par Innoviris en 2019-2020, malheureusement impacté négativement par les restrictions liées à la crise sanitaire. Un nouveau projet interdisciplinaire, soutenu cette fois par la Commission communautaire française, sera mis en œuvre en 2021-2022 au Lycée intégral Roger Lallemand (St-Gilles, Bruxelles), avec la participation des élèves dès la conception des instruments. ↑
2. 200 cm de côté est un peu excessif pour un Quarré – supposé transportable – en fait, l’unité de division des côtés est arbitraire. Un côté de 50 à 70 cm est plus courant. ↑
3. Cet aspect a été abordé lors d’une journée de réflexion L’histoire des mathématiques donne-t-elle du sens à l’enseignement ? à la Bibliothèque Royale le 24/09/2021. Renseignements sur astrolabium@astrolabium.be et www.astrolabium.be ↑
4. http://www.enseignement.be/index.php?page=24915&navi=515 ↑
5. http://www.ares-ac.be/images/FIE/Referentiels/Referentiel-Math.pdf ↑