Echecs en math : et si on examinait les programmes d’étude ?

Le journal Le Soir de ce 21 janvier nous apprend que seuls 56% des élèves de 2e secondaire ont réussi le test de maths aux épreuves externes du Certificat d’Etude du Premier Degré (CE1D). Nous apprend ? Y a-t-il un professeur de maths ou de sciences dans l’enseignement secondaire qui aurait douté de ce résultat ? Cela fait des années qu’on l’observe et cela fait des années que la situation empire d’année en année. Les notions de base ne sont pas assimilées. Les élèves ont vaguement entendu parler d’angles, de pourcentages, de graphiques ou d’équations, ils connaissent les noms de Pythagore et de Thalès, mais rien n’est réellement acquis, rien n’est maîtrisé. Six années de primaire et deux années de secondaire inférieur semblent n’avoir laissé que des traces superficielles dans le cerveau des jeunes. La faute aux instituteurs ? La faute aux régents du premier degré ? Ou plutôt, la faute à une atmosphère générale qui ne valorise guère la rigueur et le travail systématique ? En tout cas, la faute à des programmes qui manquent cruellement de précision, de cohérence et de lisibilité.

En février 2008, l’Aped publiait une étude sur la différence entre les résultats des élèves flamands et francophones aux tests PISA. Nous y évoquions différents paramètres. Dans la deuxième partie de cette étude, nous nous penchions sur les profondes différences dans les programmes, en prenant pour exemple les référentiels de mathématique. Cinq ans plus tard, il n’y a rien à ajouter à ce constat. Le ravage causé en Communauté française par l’Approche par Compétences est plus profond que jamais. La mauvaise nouvelle pour la Flandre, c’est qu’elle semble vouloir s’y engager à son tour…

Nous reproduisons ci-dessous la partie consacré aux programmes de math, dans cette étude que vous pouvez consulter intégralement ici.

Socles et « eindtermen »

En Communauté française, les objectifs généraux de la formation dans chaque discipline sont décrits dans les “Socles de compétences” fixés par le gouvernement francophone. En Flandre, ils sont spécifiés dans les “eindtermen”. La différence n’est pas purement sémantique : la Communauté française a fait le choix de pousser beaucoup plus loin que la Flandre le passage à une formulation d’objectifs en termes de compétences et non de connaissances. Elle a également fait ce choix depuis plus longtemps que la Communauté flamande. Ces socles de compétences et eindtermen servent ensuite de base aux réseaux d’enseignement pour l’élaboration de leurs programmes spécifiques.

Nous avons d’abord voulu comparer ces documents de façon purement statistique. Concrètement, notre comparaison porte sur les socles de compétences et eindtermen en mathématique, pour l’enseignement primaire et le premier degré secondaire (enseignement général). Nous avons commencé par ne retenir dans chaque document que les indications relevant strictement de l’énoncé des connaissances et compétences requises dans la discipline (les mathématiques). Nous avons donc mis de côté les discours introductifs généraux, les considérations politiques ou idéologiques, les recommandations méthodologiques ou pédagogiques générales, etc… En revanche nous avons conservé les directives méthodologiques strictement liées à la discipline (comment démontrer ceci, comment expliquer cela…).
Chaque item compte généralement plusieurs références à des compétences ou à des connaissances requises. Nous y avons comptabilisé les termes-clés indiquant un concept mathématique (“nombre entier”, “triangle”, “somme”…) ou un savoir-faire précis (“savoir calculer…”, “savoir énoncer…”, “savoir expliquer…”, “savoir mesurer…”, etc.). Voici le résultat de ce travail :

Comparaison statistique entre les “socles de compétences” et les “eindtermen” en mathématique (textes réduits à l’énoncé articulé des matières, des connaissances, des savoir-faire)

Comme on le constate, les écarts sont considérables. Le nombre total de références explicites à des concepts ou à des savoir-faire est plus de deux fois supérieur en Communauté flamande. Cela se traduit parfois par des exigences plus élevées, mais aussi, souvent, par des recommandations plus précises, plus explicites, comme en témoignent les quelques exemples ci-dessous.

Commençons par l’enseignement primaire :

• Dans certains cas, les différences dénotent un véritable écart en termes de niveaux d’exigences. Par exemple, la toute première compétence requise de la part des petits Flamands est de pouvoir “compter en avant et en arrière (terugtellen) par unités, par deux, par cinq et par puissances de dix”. Les élèves francophones, eux, doivent seulement pouvoir “Dénombrer par comptage”.
• De même, les élèves flamands “peuvent trouver les diviseurs d’un nombre naturel (?100); ils peuvent trouver le (plus grand) commun diviseur [et] le (plus petit) commun multiple”. Alors que les enfant francophones apprendront seulement à “décomposer des nombres en facteurs premiers”. Ils n’étudieront le PGCD ou le PPCM que selon le bon vouloir d’un professeur (ou d’un programme de réseau), mais les socles de compétences n’en parlent pas.
• Sur le plan de la conceptualisation théorique, les attentes sont plus fréquentes, plus explicites et souvent plus élevées du côté flamand. Ainsi, les élèves flamands “peuvent reconnaître et formuler les différentes fonctions des nombres naturels”. Rien d’équivalent du côté francophone.
• “Savoir la signification de…”, pouvoir “illustrer [un concept] par un exemple”, connaître le sens précis des termes… voilà des exigences que l’on retrouve souvent dans les “Eindtermen”. Les élèves flamands doivent par exemple “savoir la signification des termes : additionner, soustraire, multiplier, diviser, multiple, diviseur, diviseur commun, plus grand commun diviseur, plus petit commun multiple, pourcentage, somme, différence, produit, quotient et reste. Ils peuvent en fournir des exemples corrects et peuvent expliquer dans quelles situation ces concepts peuvent être mis en oeuvre”. Il n’y a pas d’équivalent francophone à cette demande.
• Pareillement, les élèves flamands, et eux seuls, doivent “pouvoir “utiliser dans une conversation les symboles, la terminologie, les notations et les conventions étudiées au cours”
• Du côté francophone, on demande de pouvoir “utiliser avec pertinence le calcul mental”, comme alternative éventuelle à l’utilisation d’une calculatrice. Les élèves flamands, eux, “effectuent des calculs mentalement, en utilisant des stratégies de résolution adéquates, sur base de leur compréhension des propriétés des opérations et de la structure des nombres: additionner et soustraire jusqu’à cent, additionner et soustraire de grands nombres arrondis, multiplier et diviser par analogie avec les tables”.
• Le degré de précision des indications est tout à fait différent entre la Flandre et la Communauté française. Ainsi, le calcul mental dont il a été question ci-dessus, doit-il évidemment s’appuyer sur une solide connaissance des tables. Les élèves flamands sont donc “à même de fournir immédiatement le résultat correct de l’addition et de la soustraction jusqu’à 10, des tables de multiplication jusque et y compris 10 et des tables de division correspondantes”. Les petits francophones, pour leur part, doivent apprendre à “construire des tables d’addition et de multiplication, en comprenant leur structure, et les restituer de mémoire”. Sans autre précision.
• Même chose pour le calcul écrit. Voici les directives que reçoit à ce sujet l’instituteur flamand : “[Les élèves] connaissent les algorithmes numériques. Ils sont capables d’effectuer les quatre opérations de base avec des nombres naturels et décimaux : additionner jusqu’à cinq nombres (somme < 10.000.000); soustraire (d’un nombre < 10.000.000 et comptant au maximum 8 chiffres); multiplier (le multiplicateur comporte au maximum 3 chiffres; le produit au maximum 8 chiffres et 2 chiffres après la virgule); diviser (diviseur de maximum 3 chiffres, quotient de maximum 2 chiffres après la virgule)”. A l’instituteur francophone on dit seulement que ses élèves doivent “utiliser avec pertinence le calcul écrit”. Pas un mot de plus !
• Cette absence de précision, du côté francophone, est systématique. En géométrie, par exemple, on attend des élèves flamands qu’ils puissent “reconnaître et nommer les objets géométriques suivants sur base de leurs propriétés : dans le plan, les points, les droites, les angles et les figures planes (triangles, quadrilatères, cercles); dans l’espace, les polyèdres (cube, parallélépipède, pyramide), la sphère et le cylindre”. Dans les socles de compétence francophones, cela devient : “reconnaître, comparer des solides et des figures, les différencier et les classer sur base de la perception, de la comparaison avec un modèle, de propriétés de côtés, d’angles pour les figures”. Quels solides ? Quelles figures ? Chacun fera comme il voudra…
• On pourrait déceler, dans l’exemple précédent et dans certaines autres différences entre les communautés, un souci francophone d’attacher davantage d’importance aux compétences (comparer, classer, percevoir…) qu’aux connaissances. Mais c’est un leurre. Car même la résolution de problèmes reçoit davantage d’attention dans les “eindtermen”. Au terme de l’enseignement primaire, les élèves flamands doivent en effet “pouvoir utiliser efficacement les notions, compréhensions et procédures concernant les nombres, les mesures et la géométrie indiqués dans les ‘eintermen’ respectifs, dans des situations d’application concrètes en classe ou hors de la classe”. Alors qu’on attend seulement de leurs condisciples francophones qu’ils sachent “résoudre des problèmes simples de proportionnalité directe”…

Considérons à présent quelques exemples extraits des socles de compétences et eindtermen en mathématique pour le premier degré secondaire (enseignement général).

• On retrouve d’importantes différences pour le niveau de précision et l’exigence de rigueur dans le chef des élèves. Là où l’on est chargé d’apprendre à l’élève francophone à “utiliser, dans leur contexte, les termes usuels et les notations propres aux nombres et aux opérations”, sans plus de précision, le professeur Flamand sait pour sa part que ses élèves devront “utiliser la terminologie adéquate en relation avec les opérations : addition, somme, termes d’une somme, soustraction, différence, multiplication, produit, facteurs d’un produit, division, quotient, diviseur, dividende, reste, pourcent, carré, racine carrée, puissance, exposant, opposé, inverse, valeur absolue, moyenne”.
• De nouveau, la conceptualisation est souvent absente du côté francophone. On n’y trouve par exemple rien d’équivalent à cette exigence des eindtermen flamands : “[les élèves] savent que les propriétés des opérations dans l’ensemble des nombres naturels restent valables et peuvent être étendues à l’ensemble des nombres entiers et des nombres rationnels”.
• Différences de contenus aussi, mais toujours à l’avantage de la Flandre, où les enfants auront par exemple appris à “calculer des puissances de 2 et de 10, à exposants entiers. Ils appliquent les règles de calcul des puissances”. Pas de puissances pour les petits francophones…
• Pas de produits remarquables de binômes, non plus, pour les élèves francophones, alors que leurs condisciples flamands “connaissent les formules produits remarquables suivants : (a±b)² et (a+b)(a-b); ils peuvent les justififier et les utiliser dans les deux sens”. De plus, ils peuvent “additionner et multiplier des binômes et des trinômes et en simplifier le résultat”.
• Les francophones doivent pouvoir “relever des régularités dans des suites de nombres”. Les Flamands, eux, doivent “découvrir des régularités dans des suites ou des schémas simples et savoir les décrire au moyen de formules”. De manière fréquente, le souci de formalisation est ainsi réservé aux Flamands.
• Et toujours cette énorme différence de précision. En géométrie, les socles francophones demandent de pouvoir “associer un solide à sa représentation dans le plan” et “relever des régularités dans des familles de figures planes”. Mais en Flandre on précise quels sont ces solides (“cube, parallélépipède, prisme droit, cylindre, pyramide,, cône et sphère”) et quelles sont ces régularités (“la somme des angles d’un triangle ou d’un quadrilatère, les propriétés des triangles équilatéraux et isocèles, les propriétés des côtés, angles et diagonales des quadrilatères”)
• Ces mêmes élèves flamands auront appris à “calculer le périmètre et l’aire du triangle, du quadrilatère et du cercle; le superficie et le volume du cube, du parallélépipède et du cylindre”. Pas de formules de surface ou de volume pour les francophones.
• Quant au raisonnement théorique en géométrie, seule la Flandre semble y attacher de l’importance puisque seuls les élèves du Nord de la Belgique devront “comprendre un raisonnement ou une argumentation simple en relation avec les propriétés des figures géométriques”.
• Pareillement, seuls les élèves flamands devront “comprendre et utiliser le langage mathématique dan des situations simples”.
• Dans les deux communautés, les pourcentages ont été appris en primaire. En Communauté française on juge que cela suffit. Les jeunes Flamands, eux, devront continuer d’apprendre, au premier degré secondaire, à “utiliser les pourcentages dans des contextes sensés”.

A la fin de la lecture de ces deux documents, on a le sentiment d’avoir d’un côté un catalogue précis et organisé de directives — formulées sur le mode “Les élèves doivent savoir…”, “Les élèves doivent connaître…”, “Les élèves doivent pouvoir…” — et de l’autre côté, une collection hétéroclite, inorganisée, de recommandations vagues, ouvrant la porte à de nombreuses interprétations. D’un côté un équilibre entre des connaissances pures (définitions, terminologies…), de l’approfondissement théorique et conceptuel (savoir expliquer, savoir justifier…), des compétences (savoir calculer, savoir dessiner, savoir résoudre…) et des mises en situation (problèmes, découvertes…) ; de l’autre côté un mépris affiché pour la connaissances pure et pour la théorie, au profit d’une vision idéaliste, parfois même dogmatique, de la compétence et de la quête de sens.

Ces différences vont se cristalliser par la suite dans les programmes respectifs des réseaux dans les deux Communautés. Déjà au niveau de l’enseignement officiel organisé par les Communautés — ou plutôt par le ARGO en Flandre — dont les programmes sont pourtant caractérisés en Communauté française par un degré de rigueur supérieur à celui de l’enseignement libre, on observe d’importantes différences entre les communautés. Relevons-en quelques unes, puisées dans la partie “Algèbre” du programme de première année secondaire.

– Seuls les élèves Flamands doivent “connaîre la représentation symbolique des ensembles

$\mathbbN$, $\mathbbZ$, $\mathbbN_0$, $\mathbbZ_0$, $\mathbbZ^+$, $\mathbbZ^+_0$, $\mathbbZ^-_0$, $\mathbbQ_0$, $\mathbbQ^+$, $\mathbbQ^-$, $\mathbbQ^+_0$, $\mathbbQ^-_0$

et savoir lire et écrire ces ensembles”. De plus, ils pourront “expliquer l’extension de

$\mathbbN$

vers

$\mathbbZ$

”
– Eux seuls doivent savoir ce qu’est et comment l’on trouve le reste d’une division.
– Les élèves flamands doivent “pouvoir effectuer une recherche sur le commutativité, le caractère partout défini dans

$\mathbbN$

et dans

$\mathbbZ$

; l’associativité, le rôle de 0 et de 1; éventuellement la notion d’élément neutre; la somme d’un nombre et de son opposé; éventuellement la notion d’élément symétrique”. Ils pourront aussi “énoncer les propriétés des opérations” et “justifier les étapes d’un calcul en mentionnant les propriétés utilisées”. Pendant ce temps, les petits francophones auront appris à “utiliser la commutativité et l’associativité”. Point final.
– Ces propriétés, les Flamands apprendront aussi à les “appliquer lors du calcul mental”. Du côté francophone le calcul mental est derechef inconnu.
– Les élèves flamands apprennent dès la première année secondaire “le mode d’écriture, de lecture, la terminologie [relatifs à] l’élévation à la puissance, l’exposant, le carré”; ils “savent calculer des puissances naturelles de nombres entiers” et “connaissent la relation entre le calcul d’un carré et d’une racine carrée”. Les francophones, eux, apprennent seulement à “calculer des puissances à exposants naturels”. Ici, pas de souci de terminologie, de mode d’écriture ou de lecture, ni de racines.
– Les enseignants flamands se voient contraints, pour apprendre aux élèves à résoudre des équations, d’utiliser la seule méthode pédagogiquement efficace et mathématiquement logique : “Nous effectuons la même opération sur les deux membres d’une équation (méthode de la balance)”. Du côté francophone, des légions d’enseignants continueront d’apprendre à leurs élèves que des termes et des facteurs “passent d’un côté à l’autre” d’une équation, par une espèce de procédé magique qui les fait tantôt changer de signe et tantôt, plus bizarrement encore, passer du numérateur au dénominateur ou vice-versa. Le “truc” en lieu et place de la logique, voilà sans doute l’aboutissement inévitable lorsque la quête de compétence se substitue à la volonté de (faire) comprendre.

Une autre différence importante mérite d’être relevée. Elle concerne aussi bien les socles de compétences que les programmes des deux réseaux. Du côté flamand, les eindtermen (socles) et les leerplannen (programmes) sont structurés en suivant une logique disciplinaire logique et facile d’emploi. D’abord une subdivision par années ou niveaux d’enseignement. Ensuite quelques grands chapitres — par exemple, en première année de l’enseignement secondaire : la théorie des nombres, l’algèbre et la géométrie — qui sont ensuite subdivisés chacun en trois grands points : 1) les notions et connaissances (ce qu’il faut savoir), 2) les procédures (ce qu’il faut savoir faire), 3) les relations entre les concepts (ce qu’il faut comprendre). Du côté francophone, en revanche, on a rejeté cette approche chronologique et disciplinaire au profit d’une organisation des socles et des programmes sur base de classes de compétences. Voici ce que cela donne dans les socles de compétences de la Communauté française :

1. Les nombres

-## Compter, dénombrer, classer
-## Organiser les nombres par familles
-## Calculer

1. Les solides et les figures

-## Repérer
-## Reconnaître, comparer, construire et exprimer
-## Dégager des régularités, des propriétés, argumenter

1. Les grandeurs

-## Comparer, mesurer
-## Opérer, fractionner

1. Le traitement de données

Le moins que l’on puisse dire est que ce classement (identique pour les deux cycles primaires et pour le premier degré secondaire) est assez hermétique et arbitraire. Il en résulte, pour l’enseignant, un manque dramatique de lisibilité des directives. Par exemple, la compétence “effectuer des opérations (lesquelles ? mystère !) avec des nombres” se trouve au point “1.3. Calculer”. Mais “décomposer des nombres en facteurs premiers” a été classé au point “1.2. Organiser les nombres par familles”. Et la compétence “additionner et soustraire des grandeurs fractionnées” figure au point “3.2. Opérer”. Comprenne qui pourra ! L’enseignant se trouve contraint de naviguer à travers cette organisation absconse pour tenter d’y construire un peu de cohérence et une progression logique des apprentissages.

Nous ne saurions conclure sans nous arrêter brièvement aux programmes de mathématique imposés dans l’enseignement primaire du réseau catholique francophone. Ils sont symptomatiques de la dérive qui accompagne aujourd’hui l’approche par compétences en Communauté française. Ce programme compte pas moins de 163 pages. Mais on y cherchera en vain un aperçu clair, structuré et détaillé, des savoirs disciplinaires mathématiques qu’il s’agit de faire acquérir aux élèves. En lieu et place, on nous propose une organisation basée sur une classification arbitraire de compétences.

Certaines de ces grandes compétences (dites “d’intégration”) sont ensuite détaillées en quelques lignes de “compétences spécifiques”. Mais si l’on espérait trouver dans ces “compétences spécifiques” l’énoncé des connaissances et savoir-faire mathématiques que l’instituteur est sensé transmettre, construire, faire construire ou exercer, on sera déçu. On n’y retrouve même pas tous les points qui figurent pourtant comme des matières obligatoires dans les socles de compétences de la Communauté française. A tel point que l’on ne comprend pas bien comment ce prétendu “programme” a pu être accepté.

Considérons un exemple simple: le calcul mental et le calcul écrit pour les opérations de base. Les socles de compétences exigeaient de pouvoir “construire des tables d’addition et de multiplication (…) et les restituer de mémoire”. Ils exigeaient aussi de pouvoir “utiliser avec pertinence le calcul écrit et mental”. On se souviendra combien ces formulations manquaient déjà cruellement de précision lorsqu’on les comparait avec les exigences des “eindtermen” flamands. Mais même ce minimum ne figure plus dans le programme de l’enseignement catholique francophone. Sans doute les rédacteurs de ce programme diront-ils que cela relève de l’évidence et que cela figure implicitement dans la compétence SCN.4.1 “Construire et utiliser quelques automatismes de base nécessaires” qui est elle-même un sous-compétence de la compétence SCN.4 “Résoudre des calculs”. Mais quels sont ces automatismes ? A quel niveau attend-on que les élèves les maîtrisent ? Et comment ne pas ne pas voir qu’en enfouissant des savoirs aussi fondamentaux sous une montagne de compétences imprécises (“choisir une démarche et la mener à son terme”, “créer des classes, des familles de nombres”, “vérifier le résultat d’une opération de diverses manières”…) on envoie aux enseignants un message qui relativise considérablement l’importance de ces apprentissages essentiels. Et pour qui aurait cru déceler malgré tout une logique et un ordre dans la numérotation qui organise ce fatras, une note en bas de la page 12 rappelle bien à propos que ces numéros “ne visent aucune hiérarchisation des compétences”.

Le programme proprement dit s’arrête là, après l’énoncé (longuement commenté) des quatre compétences d’intégration et l’énoncé (sans aucun commentaire) des compétences spécifiques (c’est-à-dire des compétences disciplinaires) . Ce qui vient ensuite, ce sont 140 pages de “propositions d’activités”. Elles sont, pour la plupart, d’une grande valeur pédagogique. Mais cela ne corrige aucunement l’absence d’un véritable programme. Elles auraient leur place dans un manuel de mathématique pour instituteurs ou dans un cours destiné à de futurs instituteurs, pas dans un programme ! Car de deux choses l’une. Soit l’enseignant n’a pas peur de son inspecteur et interprète le terme “proposition” à la lettre ce qui fait perdre le caractère quelque peu régulateur qu’apportent ces activités. Soit il est prudent et va se sentir obligé d’appliquer ces propositions. Ce qui le spolie de l’essence de l’acte pédagogique : développer des pratiques, des activités, adaptées à ses élèves et fondées sur sa propre expérience. Qui plus est, l’organisation de ces “propositions d’activités” est une fois de plus dominée par le regroupement arbitraire en compétences idéalisées au lieu de suivre une démarche logique d’apprentissage qui aurait au moins eu le mérite de rendre leur utilisation aisée.

Bref, au pays du surréalisme, ceci n’est pas un programme. Présenté comme tel, ce texte aurait sans doute constitué un fort intéressant guide de pédagogie des mathématiques. Avec le titre de “programme”, cela devient à la fois un instrument de dérégulation des apprentissages et une négation de la liberté pédagogique de l’enseignant.